Les lois de Kepler

Historiquement, les trois lois de Kepler définissent les propriétés liées aux orbites des planètes autour du Soleil. Elles ont été établies par l’astronome Johannes Kepler, connu pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique (dans laquelle les planètes tournent autour du Soleil, qui se trouve au centre du système solaire) de Nicolas Copernic. Il publia ses deux premières lois en 1609, et la troisième en 1618.

Nous en parlerons un peu plus loin, mais les trois lois de Kepler, complétées par les travaux d’Isaac Newton, permettent de décrire le mouvement de n’importe quel satellite autour de son astre.

 

1ère loi : loi des orbites

Avant de s’intéresser à cette première loi, il est nécessaire de savoir ce qu’est une ellipse et comment elle est définie.

Description d’une ellipse

Description ellipse

Si on inscrit une ellipse dans un rectangle, nous pouvons la caractériser par plusieurs données :

  • Le demi-grand axe a, correspondant à la moitié de la longueur du rectangle
  • Le demi-petit axe b, correspondant à la moitié de la largeur du rectangle
  • Les foyers sont les deux points à partir desquels la somme des longueurs des segments reliant ces foyers à un point quelconque de l’ellipse est constante quel que soit le point de l’ellipse.
  • L’excentricité e, correspond au rapport entre la distance du centre à l’un des foyers et du demi-grand axe.

Un cercle est une ellipse particulière dont l’excentricité est nulle (e=0). Dans ce cas, le centre du cercle se confond avec les deux foyers.

L’excentricité est forcément comprise entre 0 et 1 exclu. Si l’excentricité est égale à 1, la courbe forme une parabole. Si elle est supérieure à 1, elle forme alors une hyperbole. Dans ces deux derniers cas, la courbe n’est plus fermée et on ne peut donc plus parler d’orbite.

Pour mieux comprendre le principe des foyers (et du tracé d’une ellipse), vous pouvez imaginer deux punaises sur lesquelles sont fixées les extrémités d’une ficelle. Si l’on déplace un crayon sur celle-ci de sorte à ce qu’elle soit toujours tendue, le tracé obtenu sera une ellipse.

 

Orbites des planètes

La première loi de Kepler indique que : les orbites des planètes autour du Soleil forment des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers. Les excentricités vont de e=0,0068 pour Vénus, à e=0,2056 pour Saturne. Pour chaque orbite, il existe deux points remarquables :

  • L’aphélie : point le plus éloigné du Soleil
  • Le périhélie : point le plus proche du Soleil

Cette loi est également valable pour un satellite orbitant autour d’un astre. On parle alors d’apoastre (ou apogée quand l’astre est la Terre) et de périastre (ou périgée).

 

2ème loi : loi des aires

La deuxième loi de Kepler stipule que : le segment Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.

Pour comprendre cette deuxième loi, prenons le cas du schéma ci-dessus. Nous y retrouvons :

  • Le Soleil en S (sur l’un des foyers de l’orbite)
  • Une planète quelconque P

Lorsque la planète se déplace du point A vers le point B en un temps T, le segment [SP] balaye l’aire A1. Si cette même planète, pendant la même durée T, part du point C pour rejoindre le point D, l’aire balayée par le segment [SP] est notée A2.

La deuxième loi implique que les aires A1 et A2 sont égales (si le temps pour passer des points A à B et C à D est identique).

Il en découle également que la vitesse de révolution (vitesse de déplacement sur l’orbite) varie suivant la position de la planète sur l’orbite. On le voit bien sur le schéma ci-dessus : la distance parcourue en un temps T est plus petite lorsque la planète est éloignée du Soleil que lorsqu’elle est proche (V=D/T).

La vitesse de révolution est donc maximale au périhélie et minimale à l’aphélie.

De la même manière que pour la première loi de Kepler, celle-ci est également valable pour n’importe quel satellite orbitant autour d’un astre.

 

3ème loi : loi des périodes

La troisième loi de Kepler énonce que la période de révolution au carré d’une planète est proportionnelle au cube de son demi-grand axe. On a donc :

T2 = k.a3 avec « T » la période de révolution, « a » le demi-grand axe et « k » une constante.

Cette relation implique que le rapport T2/a3 est constant quel que soit le satellite orbitant autour d’un astre donné. Cette constante varie cependant suivant l’astre.

Dans le cas du système solaire, si l’on exprime T en années, a en UA et M en masse solaire (donc M=1), la formule se simplifie en :

T2 = a3

Nous pouvons vérifier cette formule pour l’ensemble des planètes du système solaire

Planète T [an] a [UA] T2 a3
Mercure 0,24 0,4 0,0576 0,064
Vénus 0,62 0,7 0,3844 0,343
Terre 1 1 1 1
Mars 1,88 1,5 3,535 3,375
Jupiter 11,9 5,2 141,6 140,6
Saturne 30 9,5 900 857,3
Uranus 84 19,2 7056 7077
Neptune 165 30 27225 27000

Nous constatons bien que les termes T2 sont sensiblement identiques aux termes a3. La petite différence vient des valeurs approximatives prises pour « T » et « a ».

 

La formule générale mise au point par Newton, qui permet de définir la constante « k », est la suivante :

T2 = (4.π/ G(M+m))*a3

Avec :

  • T : période de révolution
  • G : constante de gravitation universelle
  • M : masse de l’objet au foyer de l’ellipse
  • m : masse de l’objet en orbite
  • a : demi-grand axe

 

Nous allons nous arrêter là pour notre présentation des lois de Kepler. Nous reviendrons dessus par la suite, avec notamment quelques exemples d’application.

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